题目内容
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求异面直线BD与B1C所成角的余弦值；
（2）求证：平面ACB1⊥平面B1D1BD．
考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）连接D1C，利用正方体的性质可得△B1CD1为等边三角形，BD∥B1D1，即可得出；
（2）利用正方体的性质、线面与面面垂直的判定与性质定理即可得出．
（2）利用正方体的性质、线面与面面垂直的判定与性质定理即可得出．
解答：
（1）解：连接D1C，则D1C=D1B1=B1C，
∴∠D1B1C=60°，
∵D1B1∥BD，
∴∠D1B1C为异面直线BD与B1C所成的角，
∴异面直线BD与B1C所成角的余弦值为cos60°=
．
（2）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
又∵BB1⊥平面AC，AC∈平面AC，
∴BB1⊥AC，
且BB1∩BD=B，∴AC⊥平面B1D1BD，
又AC∈平面ACB1，
∴平面ACB1⊥平面B1D1BD．
∴∠D1B1C=60°，
∵D1B1∥BD，
∴∠D1B1C为异面直线BD与B1C所成的角，
∴异面直线BD与B1C所成角的余弦值为cos60°=
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（2）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
又∵BB1⊥平面AC，AC∈平面AC，
∴BB1⊥AC，
且BB1∩BD=B，∴AC⊥平面B1D1BD，
又AC∈平面ACB1，
∴平面ACB1⊥平面B1D1BD．
点评：本题考查了正方体的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质、异面直线所成的角，考查了推理能力，属于基础题．
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