Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₁（a₂-a₁）=b₂，
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an

2bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁得到a_n的通项公式，得到即可；因为b₁=a₁=1，并且b₁（a₂-a₁）=b₂即可解出q，然后得到通项；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n=n²得数列{a_n}是等差数列，设公差为d，
∵a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=3，
∴d=2，
∴a_n=2n-1，
∵b₁=1，b₁（a₂-a₁）=b₂=2
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）cn=

an

2bn

=

2n-1

2×2n-1

=

2n-1

2n

，
∴T_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

上式相减，整理得：T_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查错位相减法的运用，属于中档题．