Question

5．已知函数f（x）=|ax-3|（a＞0），g（x）=|x+$\frac{5}{2}$|．
（1）若不等式f（x）-5≤0的解集为[-1，4]，求不等式f（x）+g（x）≤$\frac{11}{2}$的解集；
（2）在（1）的条件下，若存在实数x，使得对任意的正数a，b，m满足$\frac{b}{a}$+$\frac{am}{b}$≥f（x）+g（x）成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）-5≤0的解集为[-1，4]，求出a，分类讨论求不等式f（x）+g（x）≤$\frac{11}{2}$的解集；
（2）在（1）的条件下，若存在实数x，使得对任意的正数a，b，m满足$\frac{b}{a}$+$\frac{am}{b}$≥f（x）+g（x）成立，则$\frac{b}{a}$+$\frac{am}{b}$≥[f（x）+g（x）]_min，即可求实数m的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）-5≤0的解集为[-1，4]，
∴|ax-3|≤5的解集为[-1，4]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|-a-3|=5}\\{|4a-3|=5}\end{array}\right.$，
∵a＞0，∴a=2，
∴f（x）=|2x-3|，
∴|2x-3|+|x+$\frac{5}{2}$|≤$\frac{11}{2}$
x＜-$\frac{5}{2}$，3-2x-x-$\frac{5}{2}$≤$\frac{11}{2}$，∴x≥-$\frac{5}{3}$，∴x∈∅，
-$\frac{5}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，3-2x+x+$\frac{5}{2}$≤$\frac{11}{2}$，∴x≥0，∴0≤x≤$\frac{3}{2}$，
x＞$\frac{3}{2}$，2x-3+x+$\frac{5}{2}$≤$\frac{11}{2}$，∴x≤2，∴$\frac{3}{2}$＜x≤2，
∴0≤x≤2，
∴不等式f（x）+g（x）≤$\frac{11}{2}$的解集为{x|0≤x≤2}；
（2）∵存在实数x，使得对任意的正数a，b，m满足$\frac{b}{a}$+$\frac{am}{b}$≥f（x）+g（x）成立，
∴$\frac{b}{a}$+$\frac{am}{b}$≥0
又$\frac{b}{a}$+$\frac{am}{b}$≥2$\sqrt{m}$，
∴2$\sqrt{m}$≥0
∴m≥0，
∴实数m的最小值是0．

点评 本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．