Question

4．已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x-4），又在区间[0，2]上f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-\frac{3}{2}x+5，0≤x≤1}\\{{2}^{x}+{2}^{-x}，1＜x≤2}\end{array}\right.$．函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x|+a，若F（x）=f（x）-g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是（2，2.375）．

Answer 1

分析 由函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x-4），则f（x）=f（-x），函数的周期为4，求得在区间[-2，0]上，f（x）的解析式，作出f（x）和g（x）的图象，通过平移，即可得到所求a的范围．

解答 解：由函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x-4），
则f（x）=f（-x），函数的周期为4，
则在区间[-2，0]上，有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+5，-1≤x≤0}\\{{2}^{x}+{2}^{-x}，-2≤x＜-1}\end{array}\right.$，
分别作出函数y=f（x）在[-2，2]的图象，
并左右平移4个单位，8个单位，…，
可得y=f（x）的图象，再作y=g（x）的图象，注意上下平移．
当经过A（1，2.5）时，a=2.5-0.5=2，
经过B（3，2.5）时，a=2，5-0.5³=2.375．
则平移可得2＜a＜2.375时，图象共有4个交点，
即f（x）-g（x）恰好有4个零点．
故答案为：（2，2.375）．

点评 本题考查函数的零点的求法，注意运用图象的交点，掌握图象平移和数形结合的思想方法是解题的关键．