Question

9．已知a₁=1，a_n+1=2a_n+1，c_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求证：c₁+c₂+…+c_n＜1．

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n+1}是等比数列，由等比数列的通项公式求得a_n，代入c_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$后整理，然后利用裂项相消法求和证得答案．

解答 证明：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，∴a₁+1=1+1=2≠0，
则数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，${a}_{n}={2}^{n}-1$．
∴c_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
则c₁+c₂+…+c_n =$（\frac{1}{{2}^{1}-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）+（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）+…+$$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=$\frac{1}{{2}^{1}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}=1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}＜1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．