Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线方程为

(1) 求的值；

(2) 证明: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于的等量关系式，从而求得结果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.

详解：（1）解：，由题意有，解得

（2）证明：（方法一）由（1）知，.设

则只需证明

，设

则， 在上单调递增

，

，使得

且当时，，当时，

当时，，单调递减

当时，，单调递增

，由，得，

，

设，，

当时，，在单调递减，

，因此

（方法二）先证当时， ，即证

设，则，且

，在单调递增，

在单调递增，则当时，

（也可直接分析 显然成立）

再证

设，则，令，得

且当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

，即

又，