Question

【题目】在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为AD，PC的中点．

Ⅰ求证：平面BEF；

Ⅱ若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】

（1）连接交于，并连接，，由空间几何关系可证得，利用线面平行的判断定理可得平面.

（2）（法一）取中点，连，，，由二面角的定义结合几何体的特征可知为二面角的平面角,计算可得二面角的余弦值为.

（法二）以为原点，、、分别为、、建立直角坐标系，则平面法向量可取：,平面的法向量,由空间向量的结论计算可得二面角的余弦值为.

（1）连接交于，并连接，，

，，为中点， ，且，

四边形为平行四边形， 为中点，又为中点，

， 平面，平面，平面.

（2）（法一）由为正方形可得， .

取中点，连，，，侧面 底面，且交于， ，

面，又，为二面角的平面角,

又，，，

，所以二面角的余弦值为.

（法二）由题意可知 面， ，如图所示，以为原点，、、分别为、、建立直角坐标系，则，，，.

平面法向量可取：,

平面中，设法向量为，则 ,

取,

，所以二面角的余弦值为.