题目内容
【题目】在四棱锥
中，侧面
底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，
，
，
，
，E，F分别为AD，PC的中点．
Ⅰ
求证：
平面BEF；
Ⅱ若
，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)见解析;(2) 
.
【解析】
（1）连接
交
于
，并连接
，
，由空间几何关系可证得
，利用线面平行的判断定理可得
平面
.
（2）（法一）取
中点
，连
，
，
，由二面角的定义结合几何体的特征可知
为二面角
的平面角,计算可得二面角的余弦值为
.
（法二）以
为原点，
、
、
分别为
、
、
建立直角坐标系，则平面
法向量可取：
,平面
的法向量
,由空间向量的结论计算可得二面角的余弦值为.
（1）连接交于，并连接，，
，
，为
中点， 
，且
，
四边形
为平行四边形， 为中点，又
为
中点，
， 
平面，
平面，
平面.
（2）（法一）由
为正方形可得
， 
.
取中点，连，，，
侧面
底面
，且交于， ，
面，又
，
为二面角的平面角,
又
，
，
，
，所以二面角的余弦值为.
（法二）由题意可知
面， ，如图所示，以为原点，、、分别为、、建立直角坐标系，则
，
，
，
.
平面法向量可取：,
平面中，设法向量为
，则
,
取,
，所以二面角的余弦值为.
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