Question

2．已知正方形ABCD的边长为12，动点M（不在平面ABCD内）满足MA⊥MB，则三棱锥A-BCM的体积的取值范围为（0，144]．

Answer 1

分析 由三棱锥A-BCM的体积=三棱锥M-ABC的体积，底面△ABC的面积一定，高最大时，其体积最大；高由顶点M确定，当平面MAB⊥平面ABCD时，高最大，体积也最大．

解答 解：如图所示，因为三棱锥A-BCM的体积=三棱锥M-ABC的体积，
底面△ABC的面积是定值，当高最大时，体积最大；
所以，当平面MAB⊥平面ABCD时，过点M作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
在△MAB中，MA⊥MB，AB=12，
所以，高最大为MN=6，
所以，三棱锥A-BCM的最大体积为：
V_A-BCM=V_M-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•MN=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×12×12×6=144．
所以三棱锥A-BCM的体积的取值范围为（0，144]．
故答案为：（0，144]．

点评 本题通过作图知，侧面与底面垂直时，得出高最大时体积也最大；其解题的关键是正确作图，得高何时最大．