Question

14．判断函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex+m的零点个数．

Answer 1

分析 先求导f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2x+2e=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x）；从而判断函数的单调性及极值，从而确定零点的个数．

解答 解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex+m，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2x+2e
=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x）；
则当x∈（0，e）时，f′（x）＞0；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数；
f（e）=$\frac{1}{e}$-e²+2e²+m=e²+$\frac{1}{e}$+m；
故当f（e）＜0，即m＜-（e²+$\frac{1}{e}$）时，函数f（x）没有零点，
当f（e）=0，即m=-（e²+$\frac{1}{e}$）时，函数f（x）有一个零点e，
当f（e）＞0，即m＞-（e²+$\frac{1}{e}$）时，函数f（x）有两个零点．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的个数的判断．