Question

13．抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M的横坐标为1，且|MF|=$\frac{5}{4}$．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ 面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义直接求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过焦点F作两条相互垂直的直线，设MN：x=my+$\frac{1}{4}$，PQ：x=-$\frac{1}{m}$y+$\frac{1}{4}$（m≠0），联立直线与抛物线方程组成方程组，利用弦长公式，求出MN，PQ，推出四边形MPNQ的面积的表达式，利用基本不等式求四边形MPNQ面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由已知：1+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$，∴p=$\frac{1}{2}$
故抛物线C的方程为：y²=x…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（$\frac{1}{4}$，0）
设MN：x=my+$\frac{1}{4}$，PQ：x=-$\frac{1}{m}$y+$\frac{1}{4}$（m≠0）…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{1}{4}}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$得：y²-my-$\frac{1}{4}$=0
∵△=m²+1＞0
∴|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\sqrt{{m}^{2}+1}$=m²+1…（8分）
同理：|PQ|=$\frac{1}{{m}^{2}}$+1…（10分）．
∴四边形MPNQ的面积：S=$\frac{1}{2}$（m²+1）（$\frac{1}{{m}^{2}}$+1）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{1}{{m}^{2}}$+m²）≥2
（当且仅当m=±1时等号成立）
∴四边形MPNQ的面积的最小值为2．…（12分）

点评 本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，四边形面积的最值以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．