题目内容
【题目】(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆
(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为
，且BF2＝
，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）根据题意，求得
，代入点
，求得
，即可求解椭圆的方程；
（2）由点
在直线
上，得到
的方程，联立方程组，求解点
的坐标，再根据
，列出方程求得
，即可得到椭圆的离心率．
试题解析：
解 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c，0).
(1)因为B(0，b)，所以BF2＝
＝a.
又BF2＝
，故a＝.
因为点C
在椭圆上，所以
＋
＝1.
解得b2＝1.故所求椭圆的方程为
＋y2＝1.
(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为
＋
＝1.
解方程组
得
所以点A的坐标为
.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为
.
因为直线F1C的斜率为
＝
，直线AB的斜率为－
，且F1C⊥AB，
所以·
＝－1.
又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝
.因此e＝
.
练习册系列答案
相关题目
