Question

【题目】已知是双曲线的两个焦点，圆与双曲线位于轴上方的两个交点分别为，若,则双曲线的离心率为_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

连接NF1，MF2，由双曲线的定义，可得|NF1|＝2a+2c，|MF1|＝2c﹣2a，

在△MF1F2中，和△NF1F2中，表示出cos∠MF1F2， cos∠NF2F1由，可得∠MF1F2+∠NF2F1＝π，即有cos∠MF1F2+cos∠NF2F1＝0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．

如图：

连接NF1，MF2，

由双曲线的定义，可得|MF2|﹣|MF1|＝2a，

|NF1|﹣|NF2|＝2a，

由|MF2|＝|NF2|＝2c，

可得|NF1|＝2a+2c，|MF1|＝2c﹣2a，

在等腰△MF1F2中，可得cos∠MF1F2，

在△NF1F2中，可得cos∠NF2F1，

由，可得∠MF1F2+∠NF2F1＝π，即有cos∠MF1F2+cos∠NF2F1＝0，

可得0，

化为2c2﹣3ac﹣a2＝0，

得2e2﹣3e﹣1＝0，解得e或e（舍去），

故答案为：．