题目内容
【题目】如图，三棱柱
的所有棱长均为2，平面
平面
， 
， 
为
的中点.
(1)证明： 
；
(2)若
是棱
的中点，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析；(2) 所以二面角
的余弦值为
．
【解析】试题分析：（1）证线线垂直，由平面
平面
得
平面
，再由底面图形得线线垂直．(2)建系求面的法向量，得法向量的夹角．
解：
(1)证明：取
中点
，设
与
交于点
，连接
， 
，依题意得
，
因为平面
平面
，平面
平面
， 
，
所以
平面
，即
平面
，所以
，
又因为四边形
为菱形，所以
，又
，所以
平面
，
而
平面
，所以
.
(2)解：由(1)结合已知得： 
， 
， 
，
以
为原点，如图所示建立空间直角坐标系
，因为侧面
是边长为2的菱形，且
，
所以
， 
， 
， 
， 
，
所以
， 
， 
，
设平面
的法向量为
，
则由
得
，令
，可取
，
而平面
的一个法向量
，由图可知二面角
为锐角，
因为
.
所以二面角
的余弦值为
.
智趣暑假温故知新系列答案
【题目】 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量
与尺寸
之间近似满足关系式
（
为大于
的常数），现随机抽取
件合格产品，测得数据如下：
尺寸 |
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|
质量 |
|
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|
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|
对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：
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（1）根据所给数据，求
关于
的回归方程；
（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间
内时为优等品，现从抽取的
件合格产品中再任选
件，记
为取到优等品的件数，试求随机变量
的分布列和期望.
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
【题目】为了解患肺心病是否与性别有关，在某医院对入院者用简单随机抽样方法抽取50人进行调查，结果如下列联表:
（Ⅰ）是否有
的把握认为入院者中患肺心病与性别有关？请说明理由；
（Ⅱ）已知在患肺心病的10位女性中，有3位患胃病．现在从这10位女性中，随机选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为
，求
的分布列和数学期望；
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
K | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
．
