Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆过点，离心率；点在椭圆上，延长与椭圆交于点，点是中点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）依题意，根据题设条件，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）由题意，求得，当直线的斜率不存在时，求得；当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得弦长公式和点到直线的距离公式，得出面积，利用二次函数的性质，即可求解.

（1）依题意，，则，解得，，.

故椭圆的方程为；.

（2）由分别为的中点，故.

故与同底等高，故，，

当直线的斜率不存在时，其方程为，此时.

当直线的斜率存在时，设其方程为：，

设，显然直线不与轴重合，即，

联立解得，

则，故，

故，

点到直线的距离，

所以，令，

故，

故的最大值为.