Question

19．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f′（x）sinx+f（x）cosx＞0且f（$\frac{π}{2}$）=1，则f（x）sinx≤1的整数解的集合为{-1，0，1}．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）sinx，确定当x＞0时，g（x）单调递增，g（x）是偶函数，即可求出f（x）sinx≤1的整数解的集合．

解答 解：设g（x）=f（x）sinx，则g′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx，
∵当x＞0时，f′（x）sinx+f（x）cosx＞0
∴当x＞0时，g′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（x）是偶函数，
∵f（$\frac{π}{2}$）=1，∴g（$\frac{π}{2}$）=1，
∵f（x）sinx≤1，
∴|x|≤$\frac{π}{2}$，
∴f（x）sinx≤1的整数解的集合为{-1，0，1}．
故答案为：{-1，0，1}．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生解不等式的能力，正确构造函数，利用函数的单调性与奇偶性是关键．