Question

6．为了解今年某省高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，现采用随机抽样的方法抽取了一个样本容量为240的样本，并将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图（计算结果用分数表示）．
（1）求a的值，并用该样本估计全省报考飞行员学生的体重的中位数；
（2）若以样本数据估计全省的总体数据，且从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选二人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据频率和为1，列方程求出a的值，根据中位数两边的频率相等，求出中位数的值；
（2）计算一个报考学生体重超过60公斤的频率，用频率表示概率知X服从二项分布，计算对应的概率，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）根据频率和为1，得
（0.025+a+0.075+0.0375+0.0125）×5=1，
解得a=0.05，
0.025×5+0.05×5=0.375＜0.5，
0.375+0.075×5=0.75＞0.5，
∴中位数位于60～65内，
设中位数为x，则（x-60）×0.075+0.375=0.5，
解得x=$\frac{185}{3}$，
∴估计全省报考飞行员学生体重的中位数为$\frac{185}{3}$；
（2）一个报考学生体重超过60公斤的频率为
（0.075+0.0375+0.0125）×5=$\frac{5}{8}$，
用频率表示概率知，p=$\frac{5}{8}$；
又X服从二项分布，且
P（X=k）=${C}_{2}^{k}$•${（\frac{5}{8}）}^{k}$•${（1-\frac{5}{8}）}^{2-k}$，k=0，1，2；
∴P（X=0）=${C}_{2}^{0}$•${（\frac{3}{8}）}^{2}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{5}{8}$•$\frac{3}{8}$=$\frac{30}{64}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{2}$•${（\frac{5}{8}）}^{2}$=$\frac{25}{64}$；
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{9}{64}$	$\frac{30}{64}$	$\frac{25}{64}$

则数学期望为EX=0×$\frac{9}{64}$+1×$\frac{30}{64}$+2×$\frac{25}{64}$=$\frac{5}{4}$．
（或EX=2×$\frac{5}{8}$=$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了频率分布直方图以及离散型随机变量的分布列和数学期望的应用问题，是中档题．