Question

【题目】已知数列,满足（…）．

（1）若，求的值；

（2）若且，则数列中第几项最小？请说明理由；

（3）若（n=1,2,3,…），求证：“数列为等差数列”的充分必要条件是“数列为等差数列且（n=1,2,3,…）”．

Answer 1

【答案】（1）（2）第8项最小，理由见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）由可判断是等差数列,则,进而利用等差数列性质求解即可；

（2）法一：利用数列的增减性进行判断即可；

法二：求出的通项公式,利用均值不等式求最值,即可得到取等条件,进而求解；

（3）若数列为等差数列,设其公差为,说明数列为等差数列,由（…）推出（…）；若数列为等差数列且（n=1,2,3,…）,设公差为,转化推出（…）,说明数列为等差数列,结论得证

（1）由,可得,故是等差数列,

所以

（2）

当时,则,解得,

当时,则,解得,

故有,

所以数列中最小,即第8项最小

法二：由,

可知

（当且仅当,即时取等号）

所以数列中的第8项最小

（3）证明：若数列为等差数列,设其公差为,

则为常数,

所以数列为等差数列,

由（…）,

则,故（…）成立,故必要性成立；

若数列为等差数列且（n=1,2,3,…）,设的公差为,

则（n=1,2,3,…）,

又,故,

又,,故,

所以,故有,所以为常数,

故数列为等差数列,故充分性成立,

综上可得,“数列为等差数列”的充分必要条件是“数列为等差数列且（n=1,2,3,…）”