Question

（本小题满分13分）
如图6所示，在直角坐标平面上的矩形中，，，点，满足，，点是关于原点的对称点，直线与相交于点．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）若过点的直线与点的轨迹相交于，两点，求的面积的最大值．
图6

Answer 1

（1）（2）

（Ⅰ）设点的坐标为，由图可知，，，
．
由，得点的坐标为；
由，得点的坐标为
．              ……分
于是，当时，直线的方程为
，                ……①
直线的方程为．……②
①②，得，即．
当时，点即为点，而点的坐标也满足上式．      
故点的轨迹方程为．                                                    ……分
（Ⅱ）设过点的直线的方程为，且设，．
由得．   ……③
由于上述方程的判别式，所以，是方程③的两根，
根据求根公式，可得．
又，所以的面积．             ……分
令，则．
于是，．
记，，则．
因为当时，，所以在上单调递增．
故当时，取得最小值，此时取得最大值．
综上所述，当时，即直线垂直于轴时，的面积取得最大值．
……分