Question

19．已知几何体由两个直棱柱组合而成，其三视图和直观图如图所示．设两异面直线A₁Q，PD所成的角为θ，则cosθ的值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

Answer 1

分析 先作出异面直线所成的角的平面角，即连接QC，再证明∠A₁QC为异面直线A₁Q、PD所成的角（或其补角），最后在△A₁QC中计算此角的余弦值即可．

解答 解：这个几何体的直观图如图，
这个几何体可看成是由边长为2的正方体AC₁及
底面边长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2，侧棱长为2的直三棱柱B₁C₁Q₁-A₁D₁P的组合体，
由PQ∥CD，且PQ=CD，可知PD∥QC，
故∠A₁QC为异面直线A₁Q、PD所成的角（或其补角），
由题设知QA₁²=A₁B₁²+B₁Q²=2²+2=6，
CA₁=$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$，取BC中点E，则QE⊥BC，
且QE=3，QC²=QE²+EC²=3²+1²=10，
由余弦定理，得cosθ=cos∠A₁QC=$\frac{6+10-12}{2\sqrt{6}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查了空间想象能力，由三视图作出几何体的直观图，异面直线所成的角的定义及其求法．