Question

4．设函数f（x）=ln$\frac{{\sum_{i=1}^{n-1}{{i^x}+{n^x}a}}}{n}$，其中a∈R，对于任意的正整数n（n≥2），如果不等式f（x）＞（x-1）lnn在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为{a|a＞$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 根据题意，将原不等式等价变形为：（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，再变量分离得到1-a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（ $\frac{2}{n}$）^x+（$\frac{3}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x，原不等式在区间[1，+∞）上有解，即1-a小于右边的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值，最后结合n≥2即可得到实数a的取值范围．

解答 解：不等式f（x）＞（x-1）lnn，即
ln$\frac{{1}^{x}+{2}^{x}+…+（n-1）^{x}+{n}^{x}a}{n}$＞lnn^x-1，
∵对数的底e＞1，
∴原不等式可化为1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x+n^xa＞n^x，
移项得（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，
因为n是正整数，所以两边都除以n^x，得：
1-a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（ $\frac{2}{n}$）^x+（$\frac{3}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x，…（*）
不等式f（x）＞（x-1）lnn在区间[1，+∞）上有解，
即（*）式的右边的最大值大于1-a，
∵g（x）=（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+（$\frac{3}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x 在[1，+∞）上是一个减函数，
∴当x=1时，g（x）的最大值为$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{3}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{n-1}{2}$，
因此1-a＜$\frac{n-1}{2}$，
得实数a的取值范围是a＞1-$\frac{n-1}{2}$，结合n≥2得a＞$\frac{1}{2}$，
故答案为：{a|a＞$\frac{1}{2}$}．

点评 本题给出对数型函数，求一个不等式在区间上有解的参数a的取值范围，着重考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了学生对基本初等函数的掌握，属于中档题．