题目内容

已知点D是△ABC边BC上的点，
BD
=2
DC
，过D分别作直线交AB，AC于E，F两点，若
AE
=λ
AB
，
AF
=μ
AC
（λ＞0，μ＞0），则λ+2μ的最小值是
 
．
考点：向量在几何中的应用,平行向量与共线向量
专题：平面向量及应用
分析：由已知可设
DE
=x
EF
，可得 
AD
=xμ
AC
+(1-x)λ
AB
，以及
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，从而可得λ，μ的关系，利用函数的导数即可求出最小值．
解答： 解：由D、E、F三点共线，可设
ED
=x
EF

∵
AE
=λ
AB
，
AF
=μ
AC
，（λ＞0，μ＞0），
∴
AD
=
AE
+
ED
=
AE
+x
EF
=
AE
+x（
AF
-
AE
）=x
AF
+（1-x）
AE
=xμ
AC
+(1-x)λ
AB
，
，∵
BD
=2
DC
，∴
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，
∴
xμ=
2
3
(1-x)λ=
1
3
∵λ＞0，μ＞0∴x∈（0，1）．
∴
λ=
1
3(1-x)
μ=
2
x

∴λ+2μ=
1
3
(
12
x
+
1
1-x
)．令t=
1
3
(
12
x
+
1
1-x
)，
∴t′=
1
3
(-
12
x2
+
1
(1-x)2
)，令t′=0，解得：x=
12-2
3
11
，
∴当x=
12-2
3
11
时，λ+2μ取得最小值：
1
3
(
12
12-2
3
11
+
1
1-
12-2
3
11
)=5+
8
3
3
．
故答案为：5+
8
3
3
．
点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是根据已知向量的知识寻求表达式的关系式是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
一袋中装有4个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个，白球2个，假设每个小球从袋中被取出的可能性相同，首先由甲取出2个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩下的2个球，规定取出一个黑球记1分，取出一个白球记2分，取出球的总积分多者获胜．
（1）求甲、乙平局的概率；
（2）假设可以选择取球的先后顺序，你选择先取，还是后取，请说明理由．
某学校对教师的年龄及学历状况进行调查，其结果（人数分布）如下表：
学历 35岁以下 35-50岁 50岁以上
本科 80 30 20
研究生 x 20 y
（Ⅰ）在35-50岁年龄段的教师中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）若对全体教师按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中50岁以上的有10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄在50岁以上的概率为
5
39
，求N的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若抽取的N个人中35岁以下的有48人，求x和y的值．
已知集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|
x+2
x-3
＜0}．
（Ⅰ）求A∩B，A∪B；
（Ⅱ）在区间（-4，4）上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；
（Ⅲ）设（a，b）为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b-a∈A∪B”的概率．
△ABC中，已知A（4，6），B（-4，0），C（4，0），D为BC上一点，且AD平分∠BAC，则AD所在的直线方程为
 
．
在△ABC中，满足sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，则∠C=
 
．
已知f（x）=2x的反函数为y=f-1（x），g（x）=f-1（1-x）-f-1（1+x），则不等式g（x）＜0的解集是
 
．
已知sinα=2cosα，则
2sin2α+1
sin2α
的值为
 
．
复数
i2+i3+i4
1-i
=（　　）
A、-
1
2
-
1
2
i
B、-
1
2
+
1
2
i
C、
1
2
-
1
2
i
D、
1
2
+
1
2
i

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