题目内容
在平面上给定一个△ABC，试判断平面上是否存在这样的点P，使得线段AP的中点为M，线段BM的中点为N，线段CN的中点为P？若存在，这样的点P有几个？若不存在，说明理由．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系
专题：空间位置关系与距离
分析：平面上是否存在这样的点P，只有一个．作l∥AC，使l与AC的距离等于AC上高的
，作m∥BC，使m与BC距离等于BC上高的
，交点为P，点P为所求的点．
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解答：
解：平面上是否存在这样的点P，只有一个．
作l∥AC，使l与AC的距离等于AC上高的
，
作m∥BC，使m与BC距离等于BC上高的
，交点为P，
AP中点M，连结BM，连结CP，延长交BM于N，
则点P为所求的点．
证明：如图，S1=S2=
S△ABC=S3，
S4=S5+S6=
=
，
S2，S3同底PC，它们在PC上的高相等，
S2，S3在PC上的高相等，也是S5，S6在PN上的高，
S5=S6=
，
S5，S6的高=P到BM的距离，故BM=MN，
S5=S3，故CP=PN．
作l∥AC，使l与AC的距离等于AC上高的
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作m∥BC，使m与BC距离等于BC上高的
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AP中点M，连结BM，连结CP，延长交BM于N，
则点P为所求的点．
证明：如图，S1=S2=
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S4=S5+S6=
1-
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S2，S3同底PC，它们在PC上的高相等，
S2，S3在PC上的高相等，也是S5，S6在PN上的高，
S5=S6=
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S5，S6的高=P到BM的距离，故BM=MN，
S5=S3，故CP=PN．
点评：本题考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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