题目内容
△ABC中，已知
•
=3
•
（1）求
（2）若cosC=
，求A．
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
（1）求
| tanB |
| tanA |
（2）若cosC=
| ||
| 5 |
分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；
（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
解答：解：（1）∵
•
=3
•
，
∴cbcosA=3cacosB，
即bcosA=3acosB，
由正弦定理
=
=2R，
得：sinBcosA=3sinAcosB，
又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，
在等式两边同时除以cosAcosB，
得tanB=3tanA；
∴
=3．
（2）∵cosC=
，0＜C＜π，
sinC=
=
，
∴tanC=2，A+B+C=π，
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC=-2，
∴
=-2，将tanB=3tanA代入得：
3tan2A-2tanA-1=0，
即（tanA-1）（3tanA+1）=0，
∴tanA=1或tanA=-
，
∵cosA＞0，∴tanA=1，
∵A为三角形的内角，
∴A=
．
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
∴cbcosA=3cacosB，
即bcosA=3acosB，
由正弦定理
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
得：sinBcosA=3sinAcosB，
又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，
在等式两边同时除以cosAcosB，
得tanB=3tanA；
∴
| tanB |
| tanA |
（2）∵cosC=
| ||
| 5 |
sinC=
| 1-cos2C |
2
| ||
| 5 |
∴tanC=2，A+B+C=π，
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC=-2，
∴
| tanA+tanB |
| 1-tanA•tanB |
3tan2A-2tanA-1=0，
即（tanA-1）（3tanA+1）=0，
∴tanA=1或tanA=-
| 1 |
| 3 |
∵cosA＞0，∴tanA=1，
∵A为三角形的内角，
∴A=
| π |
| 4 |
点评：本题考查了平面向量数量积公式，考查两角和与差的正切函数及三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式，考查正弦定理，考查了学生的计算能力，属于解三角形题型，综合性较强．
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