Question

在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=2

3

，动点C的运动轨迹为曲线G，且当动点C运动时，cosC有最小值-

1

2

．
（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，求曲线G的方程．
（2）过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交曲线G于M，N两点．将线段MN的长|MN|表示为m的函数

 

，并求|MN|的最大值．

Answer 1

分析：（1）设|CA|+|CB|=2a（a＞

3

）为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，焦距2c=|AB|=2

3

，利用余弦定理及基本不等式，结合cosC有最小值-

1

2

，即可求得曲线G的方程；
（2）由题意知，|m|≥1，分类讨论：当m=±1时，|MN|=

3

；当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），代入椭圆方程，消元，由l与圆x²+y²=1相切，得

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1，由此可得线段MN的长|MN|表示为m的函数，利用基本不等式，即可求得|MN|的最大值．

解答：解：（1）设|CA|+|CB|=2a（a＞

3

）为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
所以焦距2c=|AB|=2

3

．（2分）
因为cosC=

|CA|2+|CB|2-(2 3 )2

2|CA||CB|

=

(|CA|+|CB|)2-2|CA||CB|-12

2|CA||CB|

=

2a2-6

|CA||CB|

-1
又 |CA|•|CB|≤(

2a

2

)2=a2，所以 cosC≥1-

6

a2

，
由题意得1-

6

a2

=-

1

2

，a2=4．
所以C点轨迹G的方程为

x2

4

+y2=1(y≠0)（6分）
（2）由题意知，|m|≥1．
当m=1时，切线l的方程为x=1，点M，N的坐标分别为（1，-

3

2

），（1，

3

2

），此时|MN|=

3

．
当m=-1时，同理可知|MN|=

3

．（7分）
当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），代入椭圆方程，消元得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．（8分）
设M，N两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-4

1+4k2

，
又由l与圆x²+y²=1相切，得

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1，
所以|MN|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 |m|

m2+3

．（12分）
由于当m=±1时，|MN|=

3

．
所以|MN|=

4 3 |m|

m2+3

，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．
因为|MN|=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2，且当m=±

3

时，|MN|=2．
所以|MN|的最大值为2．（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查基本不等式的运用，考查直线与圆、椭圆的位置关系，解题的关键是确定曲线方程与函数解析式．