Question

16．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15度，边界忽略不计）即为中奖．
乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球（这些球除颜色外完全相同），如果摸到的是2个红球，即为中奖．
（1）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由；
（2）记在乙商场购买该商品的顾客摸到红球的个数为ξ，求ξ的期望．

Answer 1

分析 （1）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A，利用几何概型求出顾客去甲商场中奖的概率；设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件B，利用等可能事件概率计算公式求出顾客去乙商场中奖的概率，由此能求出顾客在乙商场中奖的可能性大．
（2）由题意知ξ的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A，
试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πr²（r为圆盘的半径），阴影区域的面积为$S=4×\frac{1}{2}×\frac{π}{12}{r^2}=\frac{π}{6}{r^2}$．
所以，$P（A）=\frac{{\frac{π}{6}{r^2}}}{{π{r^2}}}=\frac{1}{6}$．…3分
设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件B，
则一切等可能的结果有$C_6^2$种，其中摸到的2个球都是红球有$C_3^2$种．
所以，P（B）=$\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$．…5分
因为P（A）＜P（B），
所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． …6分
（2）由题意知ξ的取值为0，1，2 　　　 …7分
∴$P（ξ=0）=\frac{C_3^0C_3^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_3^2C_3^0}{C_6^3}=\frac{1}{5}$…10分
∴所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

…11分
ξ的数学期望$Eξ=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$…12分．

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．