Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，判断是否是函数的极值点，并说明理由；

（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）是函数的极大值点，理由详见解析；（2）1.

【解析】

（1）将直接代入，对求导得，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导，判断导函数在左右两边的正负情况，最后得出，是函数的极大值点；

（2）利用题目已有条件得，再证明时，不等式 恒成立，即证，从而可知整数的最小值为1.

解:（1）当时，.

令，则

当时，.

即在内为减函数，且

∴当时，;当时，.

∴在内是增函数，在内是减函数.

综上，是函数的极大值点.

（2）由题意，得，即.

现证明当时，不等式成立，即.

即证

令

则

∴当时，;当时，.

∴在内单调递增，在内单调递减，

的最大值为.

∴当时，.

即当时，不等式成立.

综上，整数的最小值为.