Question

点M是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（c，y），由题意y＞c＞

2

2

y，y=±

b2

a

，从而可求椭圆离心率的取值范围

解答： 解：∵圆M与X轴相切于焦点F，
∴圆心与F的连线必垂直于X轴，不妨设M（c，y），
∵M在椭圆上，则y=±

b2

a

（a²=b²+c²），
∴圆的半径为

b2

a

，
由题意y＞c＞

2

2

y
∴c²＜（

b2

a

）²＜2c²，
∴e²＜（1-e²）²＜2e²
∴

6 - 2

2

＜e＜

5 -1

2

故答案为（

6 - 2

2

，

5 -1

2

）．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．