Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=2n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若数列{c_n}满足c_n=3ⁿ+2（-1）^n-1λa_n（λ为非零常数），确定λ的取值范围，使n∈N^*时，都有c_n+1＞c_n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）条件转化为2•3ⁿ+（-1）ⁿλ3•2ⁿ＞0，分类讨论，即可确定λ的取值范围．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1．
当n＞1时，S_n=2a_n-1，∴S_n-1=2a_n-1-1，
∴S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a_n=2^n-1，n∈N^*．
（2）b_n=2n•a_n=n•2ⁿ．
2T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（3）∵Cn=3n+2•(-1)n+1λ2n-1=3ⁿ+（-1）ⁿ⁺¹λ2ⁿ
∴C_n+1＞C_n即  3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）ⁿλ2ⁿ
即3ⁿ⁺¹-3ⁿ+（-1）ⁿλ2ⁿ⁺¹-（-1）^n-1λ2ⁿ＞0
即2•3ⁿ+（-1）ⁿλ（2ⁿ⁺¹+2ⁿ）＞0
即2•3ⁿ+（-1）ⁿλ3•2ⁿ＞0
∴（-1）ⁿλ＞

-2•3n

3•2n

即（-1）ⁿλ＞-(

3

2

)n-1…（8分）
当n为偶数时-(

3

2

)n-1≤-

3

2

，∴λ＞-

3

2

…（10分）
当n为奇数时-(

3

2

)n-1≤-1，∴-λ＞-1
即 λ＜1
又∵λ≠0
∴-

3

2

＜λ＜1且λ≠0…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．