Question

13．在△ABC中，过中线AD的中点E作一条直线分别交AB，AC于M，N两点，若$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，（x＞0，y＞0，则4x+y的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根据向量的加法及条件，结合M，E，N三点共线，解出x，y的方程，然后利用“1”的代换，化简4x+y，利用基本不等式，求表达式的最小值即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），且E为AD的中点，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∵$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，（x＞0，y＞0），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{x}$$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{y}$$\overrightarrow{AN}$，
∵M，E，N三点共线，
∴$\frac{1}{4x}$+$\frac{1}{4y}$=1，
∴4x+y=（4x+y）（$\frac{1}{4x}$+$\frac{1}{4y}$）=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{y}{4x}$+$\frac{x}{y}$≥1+$\frac{1}{4}$+1=$\frac{9}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$

点评 考查向量的加法运算，共线及共面向量基本定理，基本不等式这几个知识点．求解本题的另一个关键基本不等式求解表达式的最小值．