Question

3．求下列不定积分：
（1）∫（sec²x-2^x+2）dx；
（2）∫x²$\sqrt{x}$dx；
（3）∫（1+tan²x）dx；
（4）∫（x²+1）²dx；
（5）∫（e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$）dx；
（6）∫（cosx+$\frac{1}{x}$）dx；
（7）∫$\frac{1+2{x}^{2}}{{x}^{2}（1+{x}^{2}）}$dx；
（8）∫$\frac{cos2x}{si{n}^{2}xco{s}^{2}x}$dx；
（9）∫$\frac{1}{1+cos2x}$dx；
（10）∫sin²$\frac{x}{2}$dx．

Answer 1

分析 利用定积分的性质和求定积分公式分别求解．

解答 解：（1）∫（sec²x-2^x+2）dx=tanx-$\frac{{2}^{x}}{ln2}$+2x+C；
（2）∫x²$\sqrt{x}$dx=$\frac{2}{7}$${x}^{\frac{7}{2}}$+C；
（3）∫（1+tan²x）dx=∫sec²xdx=tanx+C；
（4）∫（x²+1）²dx=∫（x⁴+2x²+1）dx=$\frac{1}{5}{x}^{5}$+$\frac{2}{3}{x}^{3}$+x+C；
（5）∫（e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$）dx=e^x+$\frac{1}{x}$+C；
（6）∫（cosx+$\frac{1}{x}$）dx=sin+lnx+C；
（7）∫$\frac{1+2{x}^{2}}{{x}^{2}（1+{x}^{2}）}$dx=$∫（\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{1+{x}^{2}}）dx$=-$\frac{1}{x}$+arctanx+C；
（8）∫$\frac{cos2x}{si{n}^{2}xco{s}^{2}x}$dx=$∫\frac{4cos2x}{si{n}^{2}2x}dx$=∫csc2xcot2xdx=-$\frac{1}{2}$cscx+C；
（9）∫$\frac{1}{1+cos2x}$dx=$∫\frac{1}{2co{s}^{2}x}dx$=$\frac{1}{2}$tanx+C；
（10）∫sin²$\frac{x}{2}$dx=∫$\frac{1-cosx}{2}$dx=$\frac{x}{2}$-$\frac{sinx}{2}$+C；

点评 本题考查求定积分公式及定积分的性质，公式较多，过程繁琐，属于中档题．