Question

8．2015年6月1日约21时28分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，A，B是江面上位于东西方向相距5（3+$\sqrt{3}$）千米的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的客船东方之星（D点）发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20$\sqrt{3}$千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？

Answer 1

分析 在△ABD中利用正弦定理计算BD，再在△BCD中使用余弦定理计算CD，得出时间．

解答 解：由题意知$AB=5（3+\sqrt{3}）（km）$，∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°，
∴∠ADB=180°-（45°+30°）=105°．
在△ABD中，由正弦定理得：$\frac{DB}{sin∠DAB}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
∴$DB=\frac{AB•sin∠DAB}{sin∠ADB}=\frac{{5（3+\sqrt{3}）•sin{{45}°}}}{{sin{{105}°}}}=10\sqrt{3}（km）$
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°-60°）=60°．
在△DBC中．由余弦定理得：CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cos∠DBC=$300+1200-2×10\sqrt{3}×20\sqrt{3}×\frac{1}{2}=900$
∴CD=30（km）
救援船到达时间为t=1（小时）
答：该救援船到达D点需要1小时．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．