Question

（本题满分14分）已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数上是减函数，求实数a的最小值；

（3）若，使成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）单调减区间是,增区间是；（2）；（3）

【解析】

试题分析：【解析】
由已知函数的定义域均为,且． 1分

（1）函数,

当且时,;当时,．

所以函数的单调减区间是,增区间是． 4分

（2）因f（x）在上为减函数，故在上恒成立．

所以当时，．

又，

故当，即时，．

所以于是，故a的最小值为． 7分

（3）命题“若使成立”等价于

“当时，有”．

由（2），当时，，．

问题等价于：“当时，有”． 9分

当时，由（2），在上为减函数，

则=，故．

当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即．

（i）若，即，在恒成立，故在上为增函数，

于是，=，不合题意． 11分

（ii）若，即，由的单调性和值域知，

唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；当时，，为增函数；

所以，=，．

所以，，与矛盾，不合题意．

综上，得． 14分

考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值问题