Question

19．若函数f（x）=x³-ax²+3x在x∈[1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （3，+∞）
• B． （-∞，3）
• C． （-∞，3]
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 求导数得到f′（x）=3x²-2ax+3，根据条件可得到f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，从而便可得出△≤0，或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{a}{2}＜1}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，这样即可解出a的范围，即得出实数a的取值范围．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax+3；
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数；
∴f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立；
∴△=4a²-36≤0，或$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-36＞0}\\{\frac{a}{2}＜1}\\{f（1）=1-a+3≥0}\end{array}\right.$；
解得-3≤a≤3，或a＜-3；
∴a≤3；
∴实数a的取值范围是（-∞，3]．
故选：C．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，基本初等函数的求导，二次函数符号和判别式△的关系，要熟悉二次函数的图象．