题目内容

已知向量
a
=(2cos2x，
3
)，
b
=(1，sin2x)，函数f（x）=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f(a-
π
3
)=2，a∈[
π
2
，π]，求sin(2a+
π
6
)的值．
分析：（1）把向量的坐标代入数量积公式，降幂后化积，则函数f（x）的最小正周期可求；
（2）由f(a-
π
3
)=2，a∈[
π
2
，π]求解a的值，代入sin(2a+
π
6
)得答案．
解答：解：（1）由向量
a
=(2cos2x，
3
)，
b
=(1，sin2x)，得
f（x）=
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x
=cos2x+
3
sin2x+1=2sin(2x+
π
6
)+1．
∴f（x）的最小正周期为T=π；
（2）由f(a-
π
3
)=2，得
f(a-
π
3
)=2sin[2(a-
π
3
)+
π
6
]+1=2sin(2a-
π
2
)+1=2，
∴-cos2a=
1
2
，cos2a=-
1
2
，
∵a∈[
π
2
，π]，∴2a∈[π，2π]，∴2a=
4π
3
，a=
2π
3
，
∴sin(2a+
π
6
)=sin
3π
2
=-1．
点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了三角函数的倍角公式，训练了三角函数的值的求法，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量a=（tanx，1），b=（sinx，cosx），f（x）=a•b．
（I）求函数f（x）的解析式及最大值；
（II）若f(x)=
5
4
，求2cos2(
π
4
+x)-1的值．
已知向量
a
=(1-2cos2
ωx
2
，  1)，
b
=（-1，cos（ωx+
π
3
）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=
a
•
b
的相邻两个零点，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=
3
3
，x∈(0，
π
2
)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(x)-
3
2
x在区间[0，2π]上的单调递减区间．
已知向量
a
=(1-2cos2
ωx
2
，  1)，
b
=（-1，cos（ωx+
π
3
）），ω＞0，点A、B为函数f(x)=
a
•
b
的相邻两个零点，AB=π．
（1）求ω的值；
（2）若f(x)=
3
3
，x∈(0，
π
2
)，求sinx的值；
（3）求g(x)=f(2x)-
3
x在区间[0，  
3π
2
]上的单调递减区间．
（2013•湖南模拟）已知向量
a
=(sinx，2co
s
2
 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函数f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
倍；再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-
π
6
，
π
12
]上的值域．
已知向量
a
=(sinx，2co
s2 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函数f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
倍；再把所得到的图象向左平移
π
6
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[-
π
6
，
π
12
]上的值域．

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