题目内容

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2=a2的一条切线与双曲线的渐近线在第二象限内交于点A，同时这条切线交双曲线的右支于点B，且|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线的斜率为（　　）
A．±2B．±$\sqrt{5}$C．±3D．±5

分析 由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a，结合条件可得|AF1|=2a，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到渐近线的斜率．

解答 解：由双曲线的定义可得，
|BF1|-|BF2|=2a，
由|AB|=|BF2|，|BF1|=|AB|+|AF1|，
可得|AF1|=2a，
由点F1作圆x2+y2=a2的切线，可得：
|OF1|2=|OA|2+|AF1|2，
即有c2=a2+（2a）2=5a2，
可得b2=c2-a2=4a2，
即b=2a，
即有渐近线的斜率为±$\frac{b}{a}$=±2．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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