题目内容
7．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的离心率为e，则“e＞$\sqrt{2}$”是“0＜a＜1”的（ ）| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
分析 运用双曲线的离心率公式，结合a，b，c的关系，由充分必要条件的定义，以及不等式的性质，即可得到结论．
解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}$=$\sqrt{1+\frac{4}{{a}^{2}}}$，
若e＞$\sqrt{2}$，即$\sqrt{1+\frac{4}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{2}$，
即有$\frac{4}{{a}^{2}}$＞1，解得0＜a＜2．
由0＜a＜2，推不到0＜a＜1；
由0＜a＜1，可得e=$\sqrt{1+\frac{4}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}$，
由充分必要条件的定义，可得
“e＞$\sqrt{2}$”是“0＜a＜1”的必要不充分条件．
故选：B．
点评 本题考查充分必要条件的判断，注意运用双曲线的离心率公式，考查运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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18．平面直角坐标系xOy中，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（2，0），以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于A，B（不同于O），当|$\overrightarrow{AB}$|取最大值时双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{5}$ |
15．已知双曲线C：${x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的左右焦点分别是F1，F2，过F2的直线l与C的左右两支分别交于A，B两点，且|AF1|=|BF1|，则|AB|=（ ）
| A． | $2\sqrt{2}$ | B． | 3 | C． | 4 | D． | $2\sqrt{2}+1$ |
2．关于双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$与$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）
| A． | 焦距相等，渐近线相同 | B． | 焦距相等，渐近线不相同 | ||
| C． | 焦距不相等，渐近线相同 | D． | 焦距不相等，渐近线不相同 |
12．双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（ ）
| A． | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | B． | $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ | C． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | D． | 1 |
19．在等差数列{an}中，a2+a3=8，前7项和S7=49，则数列{an}的公差等于（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | $\frac{20}{3}$ | D． | $\frac{6}{5}$ |