Question

7．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=1，cosBsinC+（$\sqrt{3}$a-sinB）cos（A+B）=0，记角A=x，a+b=f（x）．
（1）求角C的大小；
（2）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA-$\sqrt{3}$acosC=0，利用正弦定理，两角差的正弦函数公式可得2sin（C-$\frac{π}{3}$）=0，结合C的范围，即可求得C的值．
（2）由已知及正弦定理，三角函数的恒等变换的应用可得f（x）=a+b=2sin（x+$\frac{π}{6}$），由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，根据正弦函数的性质即可得解f（x）的取值范围．

解答 解：（1）cosBsinC+（$\sqrt{3}$a-sinB）cos（A+B）=0
可得：cosBsinC-（$\sqrt{3}$a-sinB）cosC=0
即：sinA-$\sqrt{3}$acosC=0．
由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{asinC}{c}$-$\sqrt{3}$acosC=0，
∴asinC-$\sqrt{3}$accosC=0，c=1，
∴sinC-$\sqrt{3}$cosC=0，可得2sin（C-$\frac{π}{3}$）=0，C是三角形内角，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=x，c=1，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴f（x）=a+b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinx+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-x）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力，属于中档题．