Question

18．已知函数f（x）=log_a（x+1）（0＜a＜1）函数y=g（x）图象与函数f（x）的图象关于原点对称．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图象关于原点对称求出解析式g（x）=-f（-x）；
（2）利用奇偶性定义确定函数f（x）-g（x）为偶函数；
（3）将问题转化为求函数f（x）+g（x）的最大值．

解答 解：（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于原点中心对称，
∴g（x）=-f（-x）=-log_a（-x+1），
即，g（x）=log_a$\frac{1}{1-x}$，x＜1；
（2）记h（x）=f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a$\frac{1}{1-x}$
即h（x）=log_a（1+x）（1-x）=log_a（1-x²），x∈（-1，1），
而h（-x）=log_a[1-（-x）²]=log_a（1-x²）=h（x），
所以，h（x）为偶函数，即f（x）-g（x）为偶函数；
（3）记u（x）=f（x）+g（x）=log_a（1+x）+log_a$\frac{1}{1-x}$=log_a$\frac{1+x}{1-x}$，x∈[0，1），
∵f（x）+g（x）≤m恒成立，∴m≥[log_a$\frac{1+x}{1-x}$]_max，
而u（x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$=log_a（-1+$\frac{2}{1-x}$），
当a∈（0，1），x∈[0，1）时，u（x）单调递减，
所以，u（x）_max=u（0）=log_a1=0，
因此，m≥0．

点评 本题主要考查了函数的图象与性质，函数奇偶性的判断与证明，以及运用单调性求函数最值，属于中档题．