Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=3^x．
（1）求f（log₃$\frac{1}{5}$）的值；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求出f（log₃5）=5，进而根据奇函数的性质，可得f（log₃$\frac{1}{5}$）=-f（log₃5）；
（2）根据已知可得f（x）为奇函数，可得f（0）=0，当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）得到x＜0时，f（x）的解析式，综合可得答案．

解答 解：（1）∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=3^x．log₃5＞0，
∴f（log₃5）=5，
又∵log₃5=-log₃$\frac{1}{5}$，
∴f（log₃$\frac{1}{5}$）=-（log₃5）=-5；
（2）当x＜0时，-x＞0，
f（x）=-f（-x）=-3^-x．
当x=0时，f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{3}^{-x}，x＜0\\ 0，x=0\\{3}^{x}，x＞0\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．