Question

18．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若双曲线的左顶点C在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线离心率e的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}，+∞$）
• B． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}，2$）
• C． （2，+∞）
• D． （1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）

Answer 1

分析 作出图形如图，由左顶点C在以AB为直径的圆的内部，得|CF|＜|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，求出a，c的关系即可得到结论．

解答 解：直线AB方程为：x=c，其中c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$
因此，设A（c，y₀），B（c，-y₀），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解之得y₀=$\frac{{b}^{2}}{a}$，得|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵双曲线的左焦点C（-a，0）在以AB为直径的圆内部
∴|CF|＜|AF|，即a+c＜$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即a²+ac＜b²，
将b²=c²-a²，并化简整理，
得2a²+ac-c²＜0
两边都除以a²，整理得e²-e-2＞0，
解得e＞2（舍负）
故选：C

点评 本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．