Question

【题目】已知函数，.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数的极值；

（2）若函数的图象恒在直线的下方.

①求的取值范围；

②求证：对任意正整数，都有.

Answer 1

【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）①；②见解析.

【解析】

（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及直线垂直时斜率的关系可求，然后结合单调性可求极值；

（2）①由已知可得对任意的恒成立，分离参数后通过构造函数，转化为求解相应函数的最值，结合导数可求；

②结合①可得对任意的恒成立，赋值，可得，然后结合对数的运算性质可求．

（1），，

由已知可得，解得.

则，，其中.

令，得.

当时，；当时，.

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

所以，函数的极大值为，无极小值；

（2）①由条件知，只需，即对任意的恒成立，

即，其中，

令，则，即，

构造函数，则，令，得，列表如下：

		极大值

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以，，，因此，实数的取值范围是；

②由①可知，当时，对任意的恒成立，

令，则，

所以，

所以.