Question

【题目】已知函数（），是的导数.

（1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点；

（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）设，，注意到在上单增，再利用零点存在性定理即可解决；

（2）函数在上单调递减，则在恒成立，即在上恒成立，构造函数，求导讨论的最值即可.

（1）由已知，，所以，

设，，

当时，单调递增，而，，且在上图象连续

不断.所以在上有唯一零点，

当时，；当时，；

∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小

值点，即在区间上存在唯一的极小值点；

（2）设，，，

∴在单调递增，，

即，从而，

因为函数在上单调递减，

∴在上恒成立，

令，

∵，

∴，

在上单调递减，，

当时，，则在上单调递减，，符合题意.

当时，在上单调递减，

所以一定存在，

当时，，在上单调递增，

与题意不符，舍去.

综上，的取值范围是