Question

【题目】某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次 数为．

（1）求的分布列及其期望；

（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）（i）见解析（ii）时平均检验次数最少，约为594次．

【解析】

（1）由题意可得，的可能取值为和，分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出期望.

（2）（i）由记，根据函数的单调性即可证出；记，当且取最小值时，该方案最合理，对进行赋值即可求解.

（1）由题，的可能取值为 和

，故的分布列为

由记，因为，

所以 在上单调递增 ，

故越小，越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理

记

当且取最小值时，该方案最合理，

因为，，

所以时平均检验次数最少，约为次．