Question

【题目】已知.

（1）讨论函数_f(x)的单调性；

（2）若 ，且有2 个不同的极值点 ，求证：.

Answer 1

【答案】（1）时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）详见解析.

【解析】

（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断的单调性；

（2）①方法一：根据导数与函数极值的关系，求得和的关系，因此可以求得的取值范围；

方法二：根据方法一求得和的关系，根据函数的零点存在定理求得的取值范围；

②根据①可知，表示出，消元，根据的取值范围和函数的单调性即可求得

（1），求导，，

①当时，，所以在上单调递增；

②当时，，，单调递减，

当时，，单调递增，

综上可知，时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）①方法一：因为＝，

所以，有个不同的极值点，，

则，是方程＝的两个根，由，得＝，

且＝，＝，结合，可得，由，

得，所以，

方法二：因为＝，

所以，有个不同的极值点，，

则，是方程＝的两个根，由，得＝，

且＝，＝，结合，可得，

设＝＝，因为，＝，

由零点存在定理得；

②，

设，，

求导，，，

故＝在单调递减，，

所以