Question

选做题：已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1．
（1）若2x²+3y²+6z²=1，求x，y，z的值；
（2）若2x²+3y²+tz²≥1恒成立，求正数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，由2x²+3y²+6z²=1，令，能求出x，y，z的值．
（2）由柯西不等式得（2x²+3y²+tz²）（++）＞（x+y+z）²=1，由2x²+3y²+tz²≥1恒成立，知（）≥1，由此能求出正数t的取值范围．
解答：解：（1）∵x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，
∴由2x²+3y²+6z²=1，令，
解得，，．
（2）柯西不等式得：（2x²+3y²+tz²）（++）＞（x+y+z）²=1，
∵2x²+3y²+tz²≥1恒成立，
∴（）≥1
即≥1
解得0＜t≤6
点评：本题考查不等式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意柯西不等式的灵活运用．