Question

选做题：已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1．
（1）若2x²+3y²+6z²=1，求x，y，z的值；
（2）若2x²+3y²+tz²≥1恒成立，求正数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，由2x²+3y²+6z²=1，令

x=2x2 y=3y2 z=6z2

，能求出x，y，z的值．
（2）由柯西不等式得（2x²+3y²+tz²）（

1

2

+

1

3

+

1

t

）＞（x+y+z）²=1，由2x²+3y²+tz²≥1恒成立，知（

1

2

+

1

3

+

1

t

）≥1，由此能求出正数t的取值范围．

解答：解：（1）∵x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，
∴由2x²+3y²+6z²=1，令

x=2x2 y=3y2 z=6z2

，
解得x=

1

2

，y=

1

3

，z=

1

6

．
（2）柯西不等式得：（2x²+3y²+tz²）（

1

2

+

1

3

+

1

t

）＞（x+y+z）²=1，
∵2x²+3y²+tz²≥1恒成立，
∴（

1

2

+

1

3

+

1

t

）≥1
即

5

6

+

1

t

≥1
解得0＜t≤6

点评：本题考查不等式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意柯西不等式的灵活运用．