Question

已知过抛物线x²＝4y的对称轴上一点P(0，m)(m＞0)作直线l，l与抛物线交于A、B两点．

(1)若角∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围；

(2)若l的方程为x－2y＋12＝0，且过A、B两点的圆C与抛物线在点且(A在第一象限)处有共同的切线，求圆C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设l：y＝kx＋m，代入抛物线x2＝4y的方程化简得 　　x2－4ky－4m＝0，　　1分 　　∵m＞O∴△＝16k2＋16m＞0恒成立 　　设A(x1，y1)．B(x2，y2)，则xl＋x2＝4k，x1x2＝－4m． 　　又角AOB为锐角，所以　　3分 　　因为， 　　则，即， 　　又因为m＞0，解得m＞4；　　6分 　　(2)解方程组，得或， 　　由题意得A(6，9)、B(－4，4)， 　　又函数的导数为，所以过点A的公共切线斜率k＝3，由题意知圆C的圆心C是线段AB的垂直平分线和过点A与公共切线垂直的直线的交点，　　9分 　　，即， 　　，即，　　10分 　　联立和的方程解得圆心坐标， 　　圆半径　　11分 　　故所求圆方程为　　12分