Question

如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A、B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“优美椭圆”；类比“优美椭圆”，可推出“优美双曲线”的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：首先通过类比，得“优美双曲线”的虚轴一端与左焦点的连线，垂直于该点与右顶点连线．作出示意图，在RtABF中用射影定理，得b²=ac，结合双曲线a、b、c的关系和离心率的定义解一元二次方程，即可得到“优美双曲线”的离心率．
解答：解：根据“优美椭圆”的定义，可得“优美双曲线”的虚轴一端与左焦点的连线，垂直于该点与右顶点连线．如图，设A是双曲线右顶点，B是虚轴上端点，F是左焦点
∵△ABF中，FB⊥AB，且AB⊥BF
∴OB²=OA×OF，即b²=ac
因此，c²-a²=ac，两边都除以a²并整理，得e²-e-1=0，解之得e=（舍负）
∴“优美双曲线”的离心率为
故答案为：
点评：本题通过“优美椭圆”类比到“优美双曲线”，求双曲线的离心率，着重考查了椭圆和双曲线基本概念和简单性质，考查了直角三角形中的相似三角形等知识，属于基础题．