Question

（2014•江门模拟）如图，椭圆Γ的中心在坐标原点O，过右焦点F（1，0）且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）直线l经过点O交椭圆Γ于P、Q两点，NP=NQ，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆Γ的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用过右焦点F（1，0）且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．可得

c=1 2b2 a =3 a2=b2+c2

解得a，b，c即可；
（2）连接ON，由椭圆的对称性OP=OQ，又NP=NQ，利用等腰三角形的性质可得ON⊥PQ，计算出点N的坐标，可得k_ON，再利用k_l•k_ON=-1即可得出k_l．

解答：解：（1）设椭圆Γ的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵过右焦点F（1，0）且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．
∴

c=1 2b2 a =3 a2=b2+c2

解得a=2，b=

3

，c=1．
∴椭圆Γ的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）连接ON，由椭圆的对称性OP=OQ，
∵NP=NQ，∴ON⊥PQ，
∵

b2

a

=

3

2

，∴N(1，-

3

2

)，
∴kON=-

3

2

，kl=-

1

kON

=

2

3

，
∴直线l的方程为y=

2

3

x．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、相互垂直的直线的斜率之间的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．