Question

如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且

AF

•

FB

=1，|

OF

|=1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l₁，l₂，直线l₁与椭圆分别交于点M、N，直线l₂与椭圆分别交于点P、Q，且|

MP

|2+|

NQ

|2=|

NP

|2+|

MQ

|2，求四边形MPNQ的面积S的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的方程，利用

AF

•

FB

=1，|

OF

|=1，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）利用|

MP

|2+|

NQ

|2=|

NP

|2+|

MQ

|2，确定l₁⊥l₂． 再分类讨论，分别计算四边形MPNQ的面积，利用基本不等式，可确定四边形形MPNQ的面积S的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则由题意知c=1，
又∵

AF

•

FB

=1
∴（a+c）（a-c）=1=a²-c²
∴a²=2
∴b²=a²-c²=1，
故椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q）．
则由题意：|

MP

|2+|

NQ

|2=|

NP

|2+|

MQ

|2
整理得：（x_N-x_M）（x_P-x_Q）+（y_N-y_M）（y_P-y_Q）=0．
所以l₁⊥l₂． 
①若直线l₁，l₂中有一条斜率不存在，不妨设l₂的斜率不存在，则可得l₂⊥x轴，
∴|MN|=2

2

，|PQ|=

2

，
故四边形MPNQ的面积S=

1

2

|PQ||MN|=

1

2

×2

2

×

2

=2．
②若直线l₁，l₂的斜率存在，设直线l₁的方程：y=k（x-1）（k≠0），则
代入椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

．
∴|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

×

( 4k2 2k2+1 )2-4× 2k2-2 2k2+1

=

2 2 (1+k2)

2k2+1

同理可求得，|PQ|=

2 2 (1+k2)

2+k2

．
故四边形MPNQ的面积：S=

1

2

|PQ||MN|=

1

2

×

2 2 (1+k2)

2k2+1

×

2 2 (1+k2)

2+k2

=

4

2+ 1 k2+ 1 k2 +2

≥

16

9

当且仅当k=±1时，取“=”．
综上，四边形形MPNQ的面积S的最小值为

16

9

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，正确表示四边形的面积是关键．